| >> | No.158453 >>158421
> что такое тензор
Отвечу я, упрощённо.
1. Пусть у нас есть какое-то поле K. То есть множество, очень напоминающее числовые множества или даже являющееся одним из них. Например, полем K может быть поле вещественных чисел.
2. Пусть нам дано несколько векторных пространств V1, V2, ... , Vn над полем K. Векторное пространство - это множество, элементы которого можно складывать друг с другом и умножать на число из поля K.
3. Доказано, что тогда существует особое векторное пространство W над полем K. Векторы этого пространства называются тензорами. Что значит "особое"? Это значит, что пространство W обладает вот какими свойствами.
а. Любой набор из n штук векторов v1, v2, ... , vn, причем v1 взят из пространства V1, v2 взят из v2, ... , vn из Vn, - такой набор задаёт один-единственный вектор w из W. Он обозначается v1⊗v2⊗...⊗vn. Причем разные наборы задают разные векторы из W. Векторы пространства W, которые могут быть заданы строчкой векторов указанного вида, называются разложимыми тензорами. Остальные векторы векторного пространства W называются неразложимыми тензорами.
b. Всякий вектор из W либо является разложимым тензором, либо равен сумме нескольких разложимых тензоров. Таким образом, о неразложимых тензорах мы отныне будем думать как о сумме нескольких разложимых.
c. Суммирование разложимых тензоров полилинейно, сиречь линейно по каждой компоненте. Это значит две вещи. Во-первых, что если у нас есть два разложимых тензора, отличающихся только i-й компонентой, то их суммой будет тензор, у которого i-я компонента будет суммой этих двух i-х компонент как векторов пространства Vi. Т.е.
v1⊗v2⊗ ... ⊗ vi ⊗...⊗vn +
+ v1⊗v2⊗ ... ⊗ v'i ⊗...⊗vn =
= v1⊗v2⊗ ... ⊗ (vi+v'i) ⊗...⊗vn.
Во-вторых, что у любой компоненты можно выносить скалярный множитель.
v1⊗v2⊗ ... ⊗ kvi ⊗...⊗vn = k(v1⊗v2⊗ ... ⊗ vi ⊗...⊗vn).
Вот и вся полилинейность.
4. На самом деле существует не одно векторное пространство W со свойствами a-c, но даже очень много таких пространств. Но все такие пространства изоморфны друг другу, причем математически очевидным образом. Поэтому неважно, какое именно из них мы понимаем под W, - они все одинаковые.
5. Несмотря на то, что тензорное произведение оказывается очень абстрактным (мы знаем только что выполняются свойства a-c и больше не знаем ничего), одно лишь существование тензорного произведения даёт нам кучу профитов. Но об этом уже потом, сейчас я просто пытаюсь объяснить, что понимается под тензорями.
6. Тензорное произведение - это полноценное векторное пространство. У него есть базисы. Каждый базис состоит из разложимых тензоров вида (e1, e2, ... , en), где ei пробегает базисные векторы пространства Vi. Размерность тензорного произведения равна произведению размерностей пространств.
7. Некоторые замечания.
- обычно тензорное произведение определяется ещё более абстрактным образом - как линейное пространство, через которое любое полилинейное отображение из произведения данных линейных пространств в какое-нибудь стороннее пространство (над тем же полем) пропускается однозначно;
- значок ⊗ сам по себе ничего не значит. Если тяжело воспринимать v1⊗v2⊗ ... ⊗vn, то можно писать просто упорядоченную строчку типа (v1,v2, ... ,vn). На суть это не повлияет. Суть в свойствах a-с, их надо хорошо осознать. Ну а какой загогулиной обозначать вектор из W, который соответствует строчке векторов (v1,v2, ... ,vn), вообще не важно.
- полилинейность будет выглядеть вообще красиво, если писать её через круглые скобки.
(v1, v2, ... , vi , ... , vn) +
+(v1, v2, ... , v'i ... , vn) =
=(v1, v2, ... , vi + v'i ... , vn),
и
(v1, v2, ... , kvi ... , vn) = k(v1, v2, ... , vi ... , vn).
Равенство, обращу внимание, понимается как равенство векторов из W.
- слово "тензор" обозначает "вектор из пространства, которое является тензорным произведением данных векторных пространств". Более никакой смысловой нагрузки у него нет. А тензорным произведением будет являться любое из множества пространств, удовлетворяющих свойствам a-c. Конкретный выбор пространства совершенно неважен, ибо все они изоморфны. Настолько неважен, что мы даже не проговариваем слова "назначим в нашей ситуации тензорным произведением такое-то конкретное пространство". Для выкладок нет разницы, какое из подходящих пространств брать.
- тензорное произведение пространств V1, ... , Vn обычно обозначается не буквой W, а символом V1⊗V2⊗...⊗Vn. Опять-таки, это чисто типографское соглашение. Тензорное произведение W пространств V1, ... , Vn можно обозначать какой угодно закорючкой, важно лишь, чтобы свойства a-c наличествовали.
- неразложимый тензор - это сумма разложимых тензоров, он выглядит как x1⊗x2⊗x3⊗...⊗xn + y1⊗y2⊗y3⊗...⊗yn + ... + z1⊗z2⊗z3⊗...⊗zn. В разных неразложимых тензорах может быть разное количество слагаемых. Что интересно, в некотором смысле большинство тензоров оказываются неразложимыми.
- для практических нужд обычно используется тензорное произведение отнюдь не произвольных, никак не связанных друг с другом пространств (как у нас), но лишь нескольких экземпляров какого-то одного векторного пространства и нескольких экземпляров двойственного ему пространства. Зачастую, особенно в книжках для инженеров, тензорное произведение определяется лишь для такого случая и притом только в координатах. Но когда речь идёт просто о сути понятия, это вносит путаницу и добавляет ненужную конкретику. Ведь вся же суть в том, что тензоры - это векторы, которые строятся из данных наборов как из компонент, а также всевозможные конечные суммы оных векторов, причем суммирование полилинейно. Всякие там свертки с валентностями уже вторичны для понимания природы тензорей.
- для тензоров введена операция внешнего тензорного умножения, позволяющая перемножать тензоры из разных тензорных произведений. Она важна, но о ней я умолчу, так как для её корректного ввода нужно несколько более абстрактное определение.
- по-видимому, ты ждёшь, что тебе дадут одну конкретную конструкцию пространства и назовут её тензорным произведением. Не надо так. Тензорным произведением может быть какое угодно пространство из великого множества подходящих. Абсолютно неважно, что там у тензорей под капотом. Многомудро ебашить по свойствам a-с - вот всё, что мы намерены делать с тензорями. Ну и ещё внешним образом их умножать.
- надеюсь, я не сильно заврался. |