Математика не использует никаких "неопределяемых понятий".
Так говорят либо невежды, либо мудаки, которые считают читателей за идиотов и хотят всё упростить.

Что есть множество определяется аксиомами Цермело-Френкеля, сокращённо ZF.
enwiki://Zermelo–Fraenkelsettheory

Эти аксиомы студенты-математики изучают на первом курсе и больше никогда о них не вспоминают, ибо для работы они никому кроме специалистов теории множеств не нужны.
(Ещё есть Аксиома Выбора, не входящая в ЦФ, ей иногда пользуются напрямую).

Кроме того, по теореме Гёделя ЦФ-аксиоматика либо неполна, либо противоречива. Неполнота уже доказана на примере континуум-гипотезы, скорее всего найдётся и противоречие, но до этого по существу никому нет дела.

> Множество - это совокупность элементов, обладающих определённым признаком или свойством.

Интуитивно множество именно так и нужно себе представлять, но за определение принять это нельзя, потому что будут противоречия. С этого, собственно, теория множеств и началась.

> какой из этих подходов наиболее правилен

а) Теория множеств ("теоретическо-множественный подход") является частью математической науки.
б) Что такое "логицизм" и "формализм" мне не известно. Естественно, в математике используется логика и формализм, но тут видимо имеются ввиду какие-то древние философские учения.
в) Интуиционисты и конструктивисты это маленькие секты, существовавшие в 30х годах в Европе и в 60х в СССР (могу ошибиться с годами). Они не верят в доказательства от противного и что-то ещё в этом духе. Есть ещё более упоротые ультрафинитисты, которые не верят в бесконечные множества. Полно всяких микросект же.

>>86639

> что понятие множества - неопределяемое?

Это так расшифровывают, что теория множеств интерпретируется, лол, множествами и предикатом принадлежности.

> формализм

Вот это.
В нем формулируется теория множеств: ZF, NGB, категорная.
Кроме него ничего не принимается, ибо выводит теоремы неизвестно откуда. Среди его побочных эффектов, что совершенно ожидаемо при такой строгости, теоремы Гёделя, Тарского и т.д.
Впрочем, это не значит, что финитные методы единственны в математической логике. Теорию формальных систем хорошо излагать, применяя нефинитный аппарат современной математики. Но это не распространено, и я видел один лишь учебник такой.
>>86649

> ЦФ-аксиоматика

Теория.

> Неполнота уже доказана

> скорее всего найдётся и противоречие

Взаимоисключающие пункты.

> Интуиционисты и конструктивисты это маленькие секты

Они хорошие, если профессиональные мат.логики не фрики. Ни во что не верят, не доказывают, что математика неправильная. К математике отношение отдаленное, правда.

>>86649

> Множество - это совокупность элементов, обладающих определённым признаком или свойством.

Как по мне так лучше уж действительно забить на определение, чем такую ерунду городить.

> какой из этих подходов наиболее правилен

Кроме всяких философов и страннонаправленных учёных кроме теории множеств никому ничё ненужно. Остальные подходы в основном заключаются в том, что они считают некоторые техники доказательств из ТМ неверными, то есть они "Уже"(от "узкий")

Хм, у меня в универе было непринято опрежелять множества и натуральные числа. Да и большой радости от их определений я не испытал, ну их в болото.

> Неполнота уже доказана

> скорее всего найдётся и противоречие

И впрямь, взаимоисключающие же.

Привет, анон. В книжке Шихановича написано, что форма "sin^2x + cos^2x" равносильна константе 1. А форма "tg x умножить на ctg x" не равносильна константе 1, т. к. при x=0 она не определена. Этого я не могу понять. Мне кажется, что она должна не являться всюду* определённой, потому что именно значение 0 из области значений её переменной не является допустимым, а все же остальные являются, нет разве?
Алсо, там в книжке в конце параграфа есть задача, надо доказать, что не существует двух таких форм A, B, которые удовлетворяли бы одновременно четырём условиям: 1) формы A, B не имеют одинаковых (общих) переменных; 2) A равносильна В; 3) ни одна из форм А, В не равносильна никакой константе; 4) ни одна из форм А, В не является нигде не определённой. Для условий 1), 2) и 4) форму придумать легко - можно взять любую формулу, например, формулу суммы кубов или ещё какую-нибудь. А вот форму, которая удовлетворяла бы условию 3) я не придумал. Как так: форма, которая не равносильна никакой константе? Может, надо поднапрячь мозги, но что-то не получается у меня. Мне кажется, что это что-то вроде того, как представить круглый квадрат.

>>88415
sin x + cos x не равносильна никакой константе
Ты сам себя запутал, бро. Для равносильности константе требуется, чтобы для любых входных значений аргументов результат был один и тот же.

>>88415

> Этого я не могу понять. Мне кажется, что она должна не являться всюду определённой, потому что именно значение 0 из области значений её переменной не является допустимым, а все же остальные являются, нет разве?

Смотри определение равносильности. Если внимательнее присмотреться к 1 и tg(x)`*`ctg(x), то видно, что первое - это функция R->R, а второе - X->R, где X не совпадает с R.

>>88445

> sin x + cos x не равносильна никакой константе

Там квадраты же. Основное тригонометрическое тождество.

>>86649

> Математика не использует никаких "неопределяемых понятий".

Вот цитата:

Определение 1. Множество - это совокупность объектов любой природы

Посмотрим на это определение внимательно. На первый взгляд, оно никуда не годится, поскольку вводимое понятие, т.е. "множество", определяется через четыре (!) других понятия, никак нами не определённых. Однако это не совсем так. Дело в том, что назначение определений - это вовсе не наведение логической строгости как таковой. Устанавливать логическую строгость требуется только там, где настрого введённые понятия приводят к недоразумениям.
А как решить, что ведёт к недоразумениям, а что нет? У современной математики есть только такие средства: логический анализ, практика и интуиция.
Имеется два типа определений: 1) логически строгое сведение определяемого объекта к уже введённым понятиям; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка.
Определение множества есть определение второго типа. В математике предпочитается, конечно, первый тип определений, но, увы, начальные понятия, к которым и относится понятие множества, приходится вводить описательно. Это плохо по многим причинам, и прежде всего потому, что приводит к противоречиям (есть так называемые парадоксы теории множеств). Однако иного подхода не найдено и приходится довериться интуиции. Здравый смысл подсказывает, что по-другому и вообще нельзя сделать.

>>88458

> Однако иного подхода не найдено и приходится довериться интуиции. Здравый смысл подсказывает, что по-другому и вообще нельзя сделать.

А это что? Ты пост читал вообще?

> Что есть множество определяется аксиомами Цермело-Френкеля, сокращённо ZF.

> enwiki://Zermelo–Fraenkelsettheory

>>88460
Аксиоматика Цермело-Френкеля всего лишь спускается на уровень глубже, чем уровень, на котором пребывают интуитивные множества. ZF(C) всё же использует интуитивные объекты и отношения, такие как "принадлежность", кванторы существования и общности, импликация и т.п.

>>88445
>>88455
Большое спасибо за ответы. Если не возражаете, задам ещё пару вопросов.

> sin x + cos x не равносильна никакой константе

А можно ещё примеры форм, не равносильных никаким константам? Если честно, sin x + cos x для меня не очень понятный пример, потому что тригонометрию в школе я проходил уже достаточно много времени назад и помню из неё только несколько формул, причём не помню, откуда эти формулы берутся. Почему, например, sin^2x + cos^2x можно, а sin x + cos x нельзя?

>>88465
Открой фольфрам-альфу и построй график. Если график не горизонтальная прямая, то это не константа.

>>88465

> Почему, например, sin^2x + cos^2x можно, а sin x + cos x нельзя?

Потому что есть такие a и b, что sin(a) + cos(a) != sin(b) + cos(b).

>>88465
>>88467
Соответственно, sin^2(a) + cos^2(a) = sin^2(b) + cos^2(b) для всех a и b.

>>88467

> есть такие a и b, что sin(a) + cos(a) != sin(b) + cos(b)

А что это за a и b?

>>88474
Числа.

>>88474
sin(0)+cos(0)=0+1=1
sin(п/4)+cos(п/4)=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2=sqrt(2)>1
Сам не мог подоборать наобум?
И почему не воспользовался >>88466 ?
На графике любые две точки с разными игриками, то есть не на одном уровне, дали бы тебе ответ на твой вопрос.

>>88477

> Сам не мог подоборать наобум?

Ох, лол, не мог. Я эту тригонометрию уже настолько забыл, что на самом деле не мог. Вот тут немного вики почитал, вроде немного вспомнил. Алсо, что касается тригонометрии, не могу понять, почему пи радиан равняется 180 градусов. То есть, почему один радиан равен 180 делить на пи. При чём здесь вообще число пи?

Ещё хотел спросить. Можно ли подобрать такую форму, которая была бы равносильна sin(x) + cos(x)? Алсо, у меня такое ощущение, что форм, которые равносильны каким-то константам, гораздо больше, чем форм, которые не равносильны никаким константам. То есть это все эти формулы квадратов суммы, кубов суммы, квадратов разности и им подобные, большая часть тригонометрических формул. Так ли это? Если это так, есть ли какой-то список форм, равносильных константам? Я в интернетах искал на эту тему, но там всё по большей части касается противопоставления "переменная - константа", а не "форма - константа", то есть это не то, что надо мне.
Ещё хотел бы сказать спасибо тем, кто отвечает мне ITT. Моя тупость уже, наверно, раздражает. Надеюсь, я всё же не безнадёжен.

>>88607

> Алсо, что касается тригонометрии, не могу понять, почему пи радиан равняется 180 градусов. То есть, почему один радиан равен 180 делить на пи. При чём здесь вообще число пи?

1. Число пи - отношение длины окружности к ее диаметру, которое оказывается постоянным и потому является фундаментальным геометрическим параметром.
2. Радианный угол - отношение длины дуги к ее радиусу.
3. Кто-то, создававший геометрию решил разделить окружность на 360 градусов и мерить углы градусами.
d = 2r (параметры окружности)
pi = l/d (см. пункт №1) -> l = pid
Угол окружности = l/r = (pi d)/r = (pi* 2r)/r = 2pi рад (см. пункт №2)
Угол окружности = 360 град (см. пункт №3)
2pi [рад] = 360 [град]
рад = [360/2pi] = [180/pi] град

>>88607
А почему ты их называешь формами? Что это за формы?

> Можно ли подобрать такую форму, которая была бы равносильна sin(x) + cos(x)?

Ты, говнюк, вольфрам-альфу так и не открыл!

> Алсо, у меня такое ощущение, что форм, которые равносильны каким-то константам, гораздо больше, чем форм, которые не равносильны никаким константам

Как ты их будешь пересчитывать?
>Моя тупость уже, наверно, раздражает.
Ты вообще наркоман какой-то.

>>88620
До этого момента:

> pi = l/d

мне понятно. Но я не пониманию, почему

> pi = l/d

как это выводится из определения о том, что

> Число пи - отношение длины окружности к ее диаметру.

>>88625

> А почему ты их называешь формами? Что это за формы?

Ну, я же читаю книгу Ю. А. Шихановича "Введение в математику" и там, когда вводится понятие переменной, говорится, что

> > выражение, содержащие переменные мы будем называть формой*.

Или вот у Чёрча во "Введении в математическую логику", опять же при введении понятия переменной, написано:

> > Что такое переменная выясняется легче всего, если прибегнуть к рассмотрению составных имён, которые содержат другие имена в качестве составляющих частей. Пусть в таком имеющем денотат составном имени одно или несколько (не обязательно все) вхож­дения какого-либо составляющего имени заменены некоторой переменной, скажем х. Чтобы избежать усложнений, допустим, что иных вхождений х не имеет и что денотат заменяемого имени входит в область значений переменной х. Выражение, получаемое из составного имени при такой замене одного из составляющих имен на переменную, мы будем называть формой*.

Но Чёрча я пока ещё не читал толком, пока только Шихановича читаю. Может, это не та книга, которую нужно читать? Я не знаю вообще, мне просто посоветовали её почитать.

> Ты, говнюк, вольфрам-альфу так и не открыл!

Да открыл я, ещё тогда, когда ты первый раз посоветовал. То есть вот это sqrt(2)sin(x+п/4) и будет то же самое, что sin(x)+cos(x)?

> Как ты их будешь пересчитывать?

Не знаю даже. Просто я предположил. Просто с этими формами всё кажется просто, но у меня такое ощущение, что я не до конца их понял. Вот, например, в книге после параграфа такая задача - надо доказать, что не существует двух таких форм A, B, которые удовлетворяли бы одновременно четырём условиям: 1) формы A, B не имеют одинаковых (общих) переменных; 2) A равносильна В; 3) ни одна из форм А, В не равносильна никакой константе; 4) ни одна из форм А, В не является нигде не определённой. Вот, например, формы A, B, удовлетворяющие первому условию (не имеют одинаковых (общих) переменных): (x+1)^3 и y^3+3y^2+3y+1 - будут ли они равносильны? При этом двум оставшимся условиям: 3) ни одна из форм А, В не равносильна никакой константе; 4) ни одна из форм А, В не является нигде не определённой - они вроде удовлетворяют.

>>88645

> как это выводится из определения о том, что

l - это длина коружности, а d - диаметр.

> То есть вот это sqrt(2)sin(x+п/4) и будет то же самое, что sin(x)+cos(x)?

Именно.

>>88646

> l - это длина коружности, а d - диаметр.

Это понятно. Не понятно, почему длина окружности принимается равной 1.

>>88649
Щито? Она не не примается равной 1. Ты хотел спросить, почему это отношение инвариантно относильно окружности, то есть одинаково для всех окружностей?

>>88649
Определение радиана прочитай.
ruwiki://радиан

>>88651
Да читал я определение радиана. Я бы не стал спрашивать анона, не посмотрев в начале на вики.

>>88650

> Она не не примается равной 1.

Тогда равной чему она принимается? Вот же анон >>88646 пишет:

> > l - это длина коружности

>>88657
О боже. Я продолжу просто ради интереса. Почему ты думаешь, что длина окружности равна еденице?

>>88659
Да, я имбецил. Но, надеюсь, не безнадёжный.

> Почему ты думаешь, что длина окружности равна еденице?

>

> > > 1. Число пи - отношение длины окружности к ее диаметру

> > pi = l/d

>>88665
Ну и?

>>88665
Вот тебе рисунок. Две окружности. Длина разная, диаметр тоже, но отношение длины к диаметру оба раза равно пи.

>>88670

> отношение длины к диаметру оба раза равно пи

Это я понимаю. Я не понимаю, откуда в pi = l/d берётся единица.

>>88671
Ту ли ты специальность выбрал?

>>88671
А я вижу тут двойку.

>>88671
Здесь есть pi, l и d, здесь нет еденицы. Ещё тут есть один знак равенства и один знак деления.

>>88671
Там >>88620 не единица, а латинская буква эл.

>>88672
Я филолог по специальности.

>>88674

> Здесь есть pi, l и d, здесь нет еденицы. Ещё тут есть один знак равенства и один знак деления.

Сижу, ржу, плачу от смеха.

Ещё раз прочёл пост >>88620. Теперь всё немного прояснилось. Как я понял, если взять окружность, например, окружность на прямоугольной системе координат с центром в начале отсчёта и радиусом, равным единичному отрезку, то в этих обозначениях, которые написаны рядом с разными точками на окружности: п/6, п/4, п/3, п/2, п, etc. - имеется в виду не само п, а именно п радиан, то есть в выражении

> 2pi [рад] = 360 [град]

рад - это типа тоже множитель, ведь
[2pi [рад] = 360 [град]]:2
pi [рад] = 180 [град]
рад = [180/п] [град]
Тогда не понятно, откуда [рад] взялось в

> Угол окружности = l/r = (pid)/r = (pi2r)/r = 2pi рад

Здесь оно вроде как просто обозначение.

>>88679
Я уже понял, спасибо.