| >> | No.92651
Горнер.png (0.0 KB, -1x-1)
 >>92637
Здесь везде речь о многочленах одной переменной x.
Многочлен степени n(самая большая встречающаяся степень) всегда имеет ровно n корней, правда некоторые из них могут быть комплексными, некоторые - кратными. Кратные корни - это типа несколько одинаковых. Более правильно говорят, что у корня многочлена есть кратность. Например, если у многочлена второй степени дискриминант = 0, то это два кратных корня, а более правильно, корень с кратностью два. А если дискриминант >0, то это два корня кратности один. Более правильно сказать не n корней, а сумма кратностей всех корней равна n. Если дискриминант меньше нуля, то на самом деле корни есть, но они "чисто комплексные". Комплексные числа - это обобщение действительных, в этом смысле, если не вдаваться, все действительные числа - частные случаи комплексных. А те комплексные, которые действительными не являются называют чисто комплексными. Любой многочлен степени n разлагается на множители так:
a (x-x[1])^k[1] (x-x[2])^k[2] ...* (x-x[m])^k[m]
здесь a - коэффициент стоящий при наибольшей степени x. x[] - корни многочлена. k[] - кратность соответствующего корня. Эта формула имеет место хоть для комплексных чисел, хоть для действительных. Конечно воспользоваться ей удастся, не имея дел с комплексными числами, только тогда, когда все корни многочлена окажутся действительными. Но даже если будут комплексные корни, если коэффициенты в многочлене были все действительные, то в любом случае можно любой многочлен разложить в такой вид:
a (x-x[1])^k[1] (x-x[2])^k[2] ... (x-x[m])^k[m] (x^2+p[1] x+q[1])^l[1] (x^2+p[2] x+q[2])^l[2] ... (x^2+p[r]*x+q[r])^l[r]
Если вид комплексных чисел тебя не пугает, скажу, что в случае с многочленом с действительными коэффициентами эти все чисто комплексные корни будут иметь сопряжённую пару. Короче если u+vi кратности l - корень, то и u-vi - тоже корень кратности l. Каждый из этих квадратных множителей со степенью l соответствует паре таких сопряжённых друг другу комплексных корней, имеющих кратность l каждый. Причём p=-2u, q=u^2+v^2.
Зная корни, коэффициенты можно вычислить формулами Виета:
ruwiki://Формулы_Виета
ruwiki://Схема_Горнера
Схема Горнера позволяет гораздо быстрее вычислять значение многочлена при каком-то х. Это полезно для программирования такого вычисления и для быстрой проверки, является ли число корнем. Если многочлен имеет целые коэффициенты, а его корень представляется как дробь с целыми числителем и знаменателем(то есть, корень рационален, не иррационален), то числитель будет делителем свободного коэффициента(без х), а знаменатель - делителем старшего коэффициента(пере самой большой степенью). Тут нужно учесть, что 1 - делитель для любого числа, и само число всегда является делителем самого себя. Вывод: если надо посчитать все рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами - выписываем все подходящие дроби, с подходящими числителями и знаменателями и поочерёдно проверяем их схемой Горнера. В ручной схеме Горнера, как её в ручную пишут, одновременно выписываются коэффициенты, которые остаются в многочлене после вынесения из многочлена множителя (х-корень) - см. пикрелейтед. - это типа побочный эффект.
С поиском всех корней многочленов степени не выше 2 всё и так понятно, не забываем, что квадратные уравнения решаются по формуле или формулами Виета. Корни многочленов -ей степени находятся методом Кардано, а 4-ой - методом Феррари
ruwiki://Формула_Кардано
ruwiki://Метод_Феррари
Найти такой простой формульный алгоритм для многочленов более высоких степеней невозможно, это доказано.
Но можно на компьютере находить корни многочленов более высоких степеней можно численными методами. Для этого надо сначала, найти отрезки, которым принадлежат корни, чтобы ни в одном не было более одного корня. Это можно в общем виде для многочленов сделать с помощью полиномов Штурма. Зная, что на данном отрезке есть ровно один корень его можно численно посчитать с любой наперёд заданной степенью точности каким-нибудь численным методом решения уравнений, например, методом Ньютона, методом дихотомии, методом простой итерации. Только там есть всякие оговорки на условия применимости, аккуратно.
Про рациональные функции. Так называют все функции вида многочлен на многочлен. Точно, что если степень числителя больше либо равна степени знаменателя, то можно делением числителя на знаменатель найти представление в виде многочлен + рациональная дробь, у которой числитель имеет строго меньшую степень чем знаменатель.
ruwiki://Делениемногочленовстолбиком
Дальше осторожно, линейная алгебра:
В принципе ясно, что многочлен это тупо последовательность коэффициентов перед х:
v = (a1,a2,a3,a4,...) - бесконечный вектор. То есть коэффициенты многочлена - это его координаты. А сам многочлен - это точка в бесконечномерном пространстве. Со всем вытекающим! На этой ноте мне пора прекращать монографию, понимая, что дальше при таком обобщении можно всю линейную алгебру переписывать, говоря, что её можно применять к многочленам, так как это векторы. Но я ещё напишу кое-что. В линалге говорят о линейных операторах. Это любые преобразования A(v), получающие из одного вектора другой, такие что:
A(v+w) = A(v) + A(w)
A(α v) = α* A(v)
Это называется свойствами линейности. α - это число, на которое мы умножаем наш многочлен. v и w - многочлены, которые мы попросту складываем. Фишка в том, что если рассматривать только многочлены степени, не превышающей n, и А, которое, изменяя многочлены, тоже не сделает из них многочлены степени выше n, то воздействие A на многочлен можно свести к умножению на матрицу. Матрица оператора A отыскивается так:
Берём многочлены 1, x, x^2, x^3, x^4,... - то есть в координатах на одном месте единичка, а остальные - нули. Например, если рассматриваем многочлены не выше 4 степени, то 1, x, x^2, x^3, x^4 берём. Воздействуем на них А. Получаем сколько-то(n+1, 5 например, 5 же было) новых многочленов. У них тоже должны быть координаты, n+1 штука. Вот эти координаты записываем столбцами матрицы. Теперь умножая на эту матрицу, как на пикрелейтед, можно вычислять A(v).
А теперь примеры. Производная, вторая производная, интегралы от многочленов. Они линейны и для ограниченной степени можно найти их матрицы и легко вычислять потом интегралы и производные многочленов путём умножения на матрицу. Кстати для обычных трёх- и двумерных векторов линейны всякие изменения размеров, вращения и т.п. И их тоже можно так вычислять.
Фух. Всё написал, что можно было про многочлены или что-то осталось? |