| >> | No.123354 >>123351
Со множествами школьники, насколько я знаю, знакомятся в седьмом классе.
Пробегает - это древний термин, им пользовался Декарт, когда изобретал понятие переменной величины. Суть в том, что переменная принимает все значения из данного множества. По-моему, этот термин полезен для интуиции, и обычно к нему придираются только вредные алгебраисты, но они вообще ко всем словам придираются. Окрестности и образы множеств - это довольно удобная терминология и очень интуитивная. Обвёл кружочек вокруг точки на плоскости - вот и её окрестность в R^2. В пространстве окрестностью будет шарик, а на прямой - интервал. Образ множества - тоже популярное понятие. Если есть, например, множество M={a,b,c}, то его образ f(M)={f(a), f(b), f(c)}, то есть мы просто применяем функцию к каждой точке данного множества и полученные значения складываем во множество. Если хочется профессиональной строгости, то образ f(M) множества M при отображении f определяется как {z∈f(M) | ∃x x∈M ∧ z = f(x)}.
Стандартное определение предела - это то же самое, только сказанное более уёбищно и для частного случая. Оно тоже использует окрестности, хоть и не выделяет это понятие явно. |x-A| < e означает просто-напросто, что x принадлежит эпсилон-окрестности точки A, то есть A-e < x < A+e. Неравенство 0 < |x-A| < e означает, что икс лежит в проколотой окрестности А. Окрестность, neighbourhood - это очевидная даже и без определения вещь, её открывает каждый человек, который пытается разобраться в стандартном определении предела. Вообще, любой человек, который впервые увидит фразу "число А есть предел функции эф в точке цэ, если для любого эпсилон больше нуля существует такое дельта больше нуля, что для любого икс такого, что нуль меньше модуля разности икс и цэ меньше дельта верно, что модуль разности f(x) и А меньше эпсилон", совершенно точно воспримет её как полную ахинею и обязательно потребует объяснений, в ходе которых неизбежно возникнет понятие окрестности в той или иной форме. Кстати, предложенное мной определение выгоднее стандартного. Моё определение предела охватывает многомерный случай, а стандартное определение приходится дорабатывать напильником.
Не элемент, а подмножество. Открытые множества - не элементы данного множества, а его подмножества. Любое множество является своим подмножеством. Мы из всевозможных подмножеств данного множества выбираем такие, которые удовлетворяют свойствам, которые я описал. Можно выбрать их по-разному. Например, есть числовая прямая. Можно объявить открытыми всевозможные числовые интервалы (a;b) и их объединения, тогда аксиомы топологии будут выполняться. А можно объявить открытыми вообще все её подмножества без исключения, тогда аксиомы топологии тоже будут выполняться. Вуаля, у нас есть две качественно различные топологии на одном и том же множестве вещественных чисел. А ведь можно и другие топологии придумать. Топология интервалов называется стандартной топологией на R, кстати. Топологическое пространство - это, с формальной точки зрения, пара <X, O>, где O является подмножеством булеана X, элементы O называются открытыми в X множествами. ruwiki://Булеан
Школьники в любом случае обязаны осилить понятие предела, потому что требование понимать предел записано в образовательном стандарте. Сейчас школьники вынуждены понимать суть предела через ловушки для чисел, которые что-то заглатывают, подписывают какие-то акты о капитуляции и поднимают белые флаги, что, на мой взгляд, ужасно. |